Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 3 класса
"Математика за 10 минут", мультимедийное учебное пособие для 1-4 классов
Пособие "Математика. Интерактивная энциклопедия для начальной школы"
1. Выполни устно операцию сложения.
| 15 + 37 = | 84 + 66 = | 35 + 58 = | 29 + 63 = |
| 74 + 12 = | 59 + 25 = | 48 + 33 = | 26 + 43 = |
| 57 + 14 = | 25 + 73 = | 87 + 6 = | 64 + 19 = |
| 45 + 21 = | 17 + 32 = | 38 + 45 = | 12 + 78 = |
| 14 + 34 = | 22 + 58 = | 43 + 46 = | 65 + 22 = |
| 21 + 45 = | 11 + 93 = | 67 + 38 = | 34 + 59 = |
2. Выполни устно операцию вычитания.
| 93 - 34 = | 74 - 66 = | 96 - 78 = | 69 - 19 = |
| 62 - 37 = | 59 - 44 = | 78 - 38 = | 79 - 58 = |
| 99 - 78 = | 65 - 65 = | 87 - 43 = | 81 - 32 = |
| 45 - 24 = | 76 - 26 = | 35 - 18 = | 94 - 39 = |
| 82 - 47 = | 72 - 44 = | 84 - 58 = | 92 - 78 = |
| 77 - 68 = | 85 - 35 = | 77 - 63 = | 89 - 42 = |
1. В кинозале расположено 78 кресел. Для проведения концерта принесли ещё 67 кресел. Сколько кресел стало в кинозале?
2. Вчера туристический автобус проехал 120 км, а сегодня - 140 км. Сколько километров проехал туристический автобус за 2 дня?
3. Коля за день собрал 230 кг картофеля, его брат Иван собрал на 30 кг больше. Сколько кг картофеля собрал Иван? Сколько кг картофеля собрали оба брата?
1. Уменьшаемое - 78 вычитаемое - 45.
2. Уменьшаемое - 23 вычитаемое - 15.
3. Уменьшаемое - 47 вычитаемое - 11.
4. Уменьшаемое - 72 вычитаемое - 37.
5. Уменьшаемое - 123 вычитаемое - 75.
6. Уменьшаемое - 218 вычитаемое - 45.
1. Первое слагаемое - 52, второе слагаемое - 49.
2. Первое слагаемое - 82, второе слагаемое - 62.
3. Первое слагаемое - 172, второе слагаемое - 93.
4. Первое слагаемое - 179, второе слагаемое - 129.
5. Первое слагаемое - 22, второе слагаемое - 349.
Быстрые способы устного счёта.
Научиться быстро считать не так уж сложно, а хорошему физику и математику просто необходимо владеть основными приемами быстрого счета. Нижеперечисленные способы быстрого устного счета расчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Устный счёт важен тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении активизируются и развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.
В сочетании с другими формами работы, устный счёт позволяет создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика.
Устный счет как обязательный этап урока должен проводиться на уроках математики во всех классах.
1. Умножение на 11
Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:
53 х 11 = 583
Шаг 1 - Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 - Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583
59 х 11 = 649
Шаг 1 - 5 + 9 = 14
Шаг 2 - Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)
Шаг 3 - На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649
2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.
85 х 85 = 7225
Шаг 1 - Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 - Дописываем к получившемуся результату 25: 7225
45 x 45 = 2025
Шаг 1 - 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 - 2025
3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.
Это срабатывает всегда:
2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887×5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435
4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232
6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.
Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75
И, как следствие): чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например,
34*1,5 = 34+17=51
125*1,5= 125+62,5=187,5
7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них - четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32×125 все равно, что:
16×250 все равно, что:
8×500 все равно, что:
4×1000 = 4,000
8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,- просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6
9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352
10.Умножение на 22, 33, …, 99
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ? 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
Пример 1. 24 ? 22 = 24 ? 2 ? 11 = 48 ? 11 = 528
Пример 2. 23 ? 33 = 23 ? 3 ? 11= 69 ? 11 = 759
Задание: Умножьте 18? 44
Проверь себя!
18 ? 44 = 18 ? 4 ? 11= 72 ? 11 = 792
11.Умножение на 25
Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4.
Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).
Пример. 135 ? 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75)=3375.
Задание: Умножьте быстро 126 ? 25
Проверь себя!
126:4=100:4+26:4= 31 сотня, остаток 2(или неполная сотня – 50)=3150
12.Умножение на 5, на 50, на 25, на 125
При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:
Пример1. 17 ? 5=17 ? 10:2=170:2=85
Пример 2. 43 ? 50=43 ? 100:2=4300:2=2150
Пример 3. 27 ? 25=27 ? 100:4=2700:4=675
Пример 4. 96 ? 125=96:8 ? 1000=12 ? 1000=12000
a ? 5=a ? 10:2 a ? 50=a ? 100:2
a ? 25=a ? 100:4 а? 125=а? 1000:8
13. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5
Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения:
100?количество десятков числа? (количество десятков+1)+25.
Пример. =100 ? 18 ? (18+1)+25=34225.
Проверь себя!
=100 ?10?(10 +1) +25=11025
14. Увеличение и уменьшение суммы в выражении
Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b
Пример. (3+2)-(3-2)=2?2=4
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть
(a+b)+(a-b)=2a
Пример. (3+2)+(3-2)=3 ? 2=6
15.Умножение на число, оканчивающиеся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.
Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
Примеры:
44 ? 5 = (44: 2) ? 5 ? 2 = 22 ? 10 = 220;
28 ? 15 = (28: 2) ? 15 ? 2 = 14 ? 30 = 420;
32 ? 25 = (32: 2) ? 25 ? 2 = 16 ? 50 = 800.
16.Умножение на число, оканчивающиеся на 5
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:
Примеры:
48 ? 65 = (48: 2) ? 65 ? 2 = 24 ? 130 = (24 ? 10 + 24 ? 3) ? 10 = (240 + 72) ? 10 = 312 ? 10 = 3120;
36 ? 85 = (36: 2) ? 85 ? 2 = 18 ? 170 = (18 ? 10 + 18 ? 7) ? 10 = (180 + 126) ? 10 = 306 ? 10 = 3060.
17. Умножение на число, оканчивающиеся на 5
Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида:
14 ? 18 = 14 ? (10 + 8) = 14 ? 10 + 14 ? 8 = 140 + 112 = 252;
13 ? 19 = 13 ? (20 - 1) = 13 ? 20 - 13 = 260 - 13 = 247.
18.Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748
19.Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.
Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401
Особенность применения устных упражнений на уроках математики заключается в следующем:
устные упражнения способствуют повышению общего уровня математического образования и сознательному усвоению школьного курса;
устные упражнения развивают у учеников навык быстро выделять из известных им законов, формул, теорем те, которые следует применить для решения предложенных или возникших в практике задач, расчетов и вычислений;
устные упражнения содействуют развитию памяти, развивают способность зрительного восприятия математических фактов, совершенствуют пространственное воображение.
Устный счет на уроках математики может быть представлен разнообразными формами работы с классом, учениками: математический, арифметический и графический диктанты, математическое лото, ребусы, кроссворды, тесты, беседы, опрос, разминка, “круговые” примеры и многое другое. В комплекс упражнений устного счета может входить алгебраический и геометрический материал, решение простых задач и задач на смекалку, свойства действий над числами и величинами и т.д.
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни.
Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
Умножение на однозначное число
§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.
Еще примеры:
34*7=30*7+4*7=210+28=238
17*6=40*6+7*6=240+42=282
§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176
§ 3 Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350
Умножение на двузначное число
§ 4 Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
6*28=28*6=120+48=168
§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
29*12=29*10+29*2=290+58= 348
41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656
(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
Умножение на 4 и на 8
§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
112*4 =224*2=448
335*4 = 670*2 =1340
§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
217*8 = 434*4=868*2=1736
Еще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.
Деление на 4 и на 8
§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
76:4 =38:2=19
236:4=118:2=59
§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
464:8=232:4=116:2=58
516:8=258:4=129:2= 64 1/2
Умножение на 5 и на 25
§ 11. Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
74*5= 740:2= 370
243*5=2430:2=1215
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
74*5 = 74/2*10=370
§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.-если число кратно 4-х -делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
72*25=72/4*100= 1800
Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют
при остатке: к частному
1 25
2 50
3 75
Основание приема ясно из того, что
100:4=25;
200:4=50;
300:4=75
Семинар при завучах
Март 2011г.
«Устный счет на уроках – залог успешного усвоения материала»
В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Она вооружает учеников необходимыми знаниями, умениями и навыками, которые используются при изучении других школьных дисциплин, особенно при изучении геометрии, алгебры, физики и информатики. При изучении данного предмета от учащихся требуется немало волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.
Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Именно поэтому учителю необходимо развивать у детей интерес к этой науке, предмету.
Одной из основных задач преподавание курса математики является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.
Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа её закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов политехнического цикла.
Вычислительные умения и навыки можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближённые вычисления.
В последнее время учителя, проводя в жизнь идею развивающего обучения, несколько ослабили внимание к развитию и закреплению у учащихся вычислительных навыков. Поэтому у школьников возникают затруднения даже при умножении и делении десятичных и обыкновенных дробей, сложении и вычитании обыкновенных дробей с разными знаменателями, при выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями. Отмечается также слабое практическое владение школьниками такими алгоритмами математических действий, как выделение целой части из неправильной дроби, представление числа, содержащего целую и дробную части, в виде неправильной дроби, обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную, нахождение процента от числа и числа по его проценту, а также выполнение математических действий с рациональными числами.
Низкий уровень вычислительных навыков затрудняет усвоение ряда разделов курса математики. Это подтверждается наблюдениями за усвоением нового материала в период его изучения на уроке, так как значительная часть времени затрачивается на проведение элементарных вычислений при выполнении заданий, проводимых учителем при объяснении и закреплении нового материала. Например, в 5-х классах при изучении темы « Упрощение выражений» большинство учащихся, выполняя правильно простейшие алгебраические преобразования при решении уравнений затрудняются произвести деление натуральных чисел. В 7 – х классах при закреплении вопросов темы « Приведение подобных слагаемых» много времени теряется при сложении чисел с разными знаками. Такого же типа затруднения возникают у учащихся и 9-х классов при решении систем уравнений с двумя переменными. В 8-х классах при решении неравенств.
Недостаточное умение школьников производить вычисления создаёт дополнительные трудности при выполнении работ практического характера. Например, многие учащиеся не могут правильно вычислить площади простейших геометрических фигур, так как неверно выполняют умножение десятичной дроби на десятичную.
Ошибки, допускаемые учащимися в процессе вычислений в младших классах, не устраняются в ряде случаев и к концу 9-го класса, а то и 11-го класса.
Указанные недостатки мешают усвоению курсов физики и химии, особенно при решении расчётных задач. Основные причины низкого уровня владения техникой счёта заключаются в следующем:
1. Результат вычислений зависит прежде всего от умений выполнять арифметические действия. В начальной школе у учащихся формируется умение производить действия с многозначными числами. В дальнейшем обучении учитель должен следить за тем, чтобы у учащихся закреплялись навыки в действиях с натуральными числами и умения в рациональной организации работы, связанной с вычислениями. Однако ряд учителей очень мало обращают внимание на систематическое решение упражнений в течение всего учебного года на все приёмы вычислений. Ссылаясь на отсутствие времени, занижается роль устных вычислений.
2. Не всегда используются возможности учебного материала на уроках для дальнейшего совершенствования вычислительных навыков школьников. На некоторых уроках в упражнениях комбинированного характера, выполнив алгебраические преобразования и столкнувшись с затруднениями учащихся при выполнении вычислений, учителя предлагают закончить вычисления дома. Из-за отсутствия должного внимания к полученному числовому значению при решении задачи часто упускается возможность интерпретации решения, сравнения ответа с полученным ранее результатом. Это оказывает вредное воздействие на отношение учащихся к анализу своего труда, связанному с техникой счета. Для выработки у учащихся вычислительных умений и навыков, требуется систематическая организация разнообразных видов работы, связанных с вычислениями.
3. Учитель не должен забывать о том, что владение вычислительными умениями и навыками имеет огромное значение для усвоения изучаемого материала, что правильно организованная вычислительная работа учащихся позволяет воспитывать у них ценные трудовые качества: ответственное отношение к своей работе, умение обнаруживать и исправлять допущенные в работе ошибки, аккуратное исполнение задания, творческое отношение к труду. Практика работы школы показывает, что без прочных умений и навыков в области вычислений, изучение математики усложняется, так как ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчетами.
Устный счет - это не случайный этап урока, он находится в методической связи с основной темой и носит проблемный характер.
Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики отводится 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях.
При их выполнении активизируется мыслительная деятельность, развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.
Устный счет на уроках математики может быть представлен разнообразными формами работы с классом, учениками (математический, арифметический и графический диктанты, математическое лото, ребусы, кроссворды, тесты, беседы, опрос, разминка, «круговые» примеры и многое другое). В него входит алгебраический и геометрический материал, решение простых задач и задач на смекалку, рассматриваются свойства действий над числами и величинами и другие вопросы, с помощью устного счета можно создать проблемную ситуацию и др.
Данный этап является неотъемлемой частью в структуре урока математики. Он помогает учителю, во-первых, переключить ученика с одной деятельности на другую, во-вторых, подготовить учащихся к изучению новой темы, в-третьих, в устный счет можно включить задания на повторение и обобщение пройденного материала, в-четвертых, он повышает интеллект учеников.
Целями данного этапа урока можно определить следующее:
1) достижение поставленных целей урока;
2) развитие вычислительных навыков;
3) развитие математической культуры, речи;
4) умение обобщать и систематизировать, переносить полученные знания на новые задания.
Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет свои задачи
1. Воспроизводство и корректировка определённых знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.
2. Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.
3. Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.
4. Повышение познавательного интереса.
При проведении устного счета каждый учитель придерживается следующих требований:
Упражнения для устного счета выбираются не случайно, а целенаправленно.
Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть легкими, но и не должны быть «громоздкими».
Тексты упражнений, чертежей и записей, если требуется, должны быть приготовлены заранее.
К устному счету должны привлекаться все ученики.
При проведении устного счета должны быть продуманы критерии оценки (поощрение).
Устный счет может быть построен в следующей форме:
Задания на развитие и совершенствование внимания.
Такие, как: найди закономерность и реши пример, продолжи ряд.
Задания на развитие восприятия, пространственного воображения.
Например, нарисуйте орнамент, узор; посчитайте сколько линий.
Задания на развитие наблюдательности (найдите закономерность, что лишнее?)
Устные упражнения с использованием дидактических игр.
Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды:
1) Нахождение значений математических выражений.
Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения.
2) Сравнение математических выражений.
Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше.
Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить: 8 · (10 + 2) = 8 · 10 + …
Выражения таких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.
Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.
3) Решение уравнений.
Это, прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные (15 · х – 9 = 51)
Уравнение можно предлагать в разных формах:
из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?
решение уравнения х · 8 = 72;
найдите неизвестное число: 77 + х = 77 + 25
Николай задумал число, умножил его на 5 и получил 125. Какое число задумал Николай?
Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.
4) Решение задач.
Для устной работы предлагаются и простые и составные задачи.
Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.
Разнообразие упражнений и возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.
Формы восприятия устного счета
1) Беглый слуховой (читается учителем, учеником, аудиозапись) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.
2) Зрительный (таблицы, плакаты, карточки, записи на доске, компьютере) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.
3) Комбинированный.
Обратная связь (показ ответов с помощью карточек, взаимопроверка, угадывание ключевых слов, проверка с помощью компьютерной программы Microsoft Power Point).
задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность).
Пути и формы использования перечисленных игр на уроках математики рассмотрены в работе “Дидактические игры на уроках математики”.
Организация занятий по устному счету
При подготовке к уроку учитель должен четко определить (исходя из целей урока) объем и содержание устных заданий.
Если цель урока – изложение новой темы, то в начале занятий можно провести устные вычисления по пройденному материалу, также можно организовать работу так, чтобы был плавный переход к новой теме. После изложения новой темы уместно предложить учащимся устные задания на выработку умений и навыков по этой теме.
Если цель урока – повторение, то к устным вычислениям в классе должны готовиться и учитель, и учащиеся. Учащиеся, с консультацией учителя, могут проводить устный счет сами на каждом уроке.
Устный счет можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе, а также специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника, специальных сборников, математических энциклопедий или книг, можно предложить учащимся самим придумать задания.
Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке.
Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала.
Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала.
При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь не нужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и, особенно для применения их в различных условиях, наоборот должны быть однообразнее. Формулировки заданий, по возможности должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими и лаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различного толкования.
Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, и развития личностных качеств ребенка. На мой взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это - важнейшее условие сознательного усвоения материала.
Если ученику нравится предмет, то он будет всегда с интересом, увлеченно осваивать все больше знаний, а повышение интереса на уроках математики может достигаться следующим образом:
1) Обогащение содержания материалом по истории науки, который часто встречается на страницах учебника.
2) Решение задач повышенной трудности и нестандартных задач. Подбор заданий осуществляется из рабочих тетрадей, дидактических материалов.
3) Подчеркивание силы и изящества, рациональность методов вычислений, доказательств, преобразований и исследований.
4) Разнообразием уроков, нестандартным их построением, включением в уроки элементов придающих каждому уроку своеобразный характер, решение проблемных ситуаций, использование технические средства обучения (интерактивная доска, компьютер и др.), наглядных пособий, разнообразием устного счета.
Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счёте развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений. Обращение к устному счёту, предусмотренному на уроке, позволяет организовать локальное повторение.
Готовясь к уроку, учитель должен отобрать материал, расположить его в систему, продумывая переход от одного упражнения к другому в соответствии с целью обучения. При обдумывании системы заданий и форм организации устного счёта не исключается учёт индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям.
Особенно большое значение имеют устные упражнения для формирования сознательного усвоения законов и свойств арифметических действий. На простых, но разнообразных примерах учащиеся должны отрабатывать навыки в использовании свойств и законов арифметических действий. Иногда бывает достаточно только изменить порядок действий, проделать несколько простейших преобразований, опирающихся на основные законы арифметических действий, и вычисления значительно упрощаются.
Значительные возможности для формирования навыков устных вычислений имеют внеклассные занятия, на которых могут быть рассмотрены оригинальные задачи, интересные приёмы устного счёта, примеры, показывающие преимущества в скорости вычислений для хорошо владеющих навыками устного счёта.
Признавая достоинства устных вычислений, не следует, однако, чрезмерно ими увлекаться. Важно, чтобы устный счёт был органически связан с решением задач обучения математики и не отнимал много времени на уроке.
В ходе изучения математики учащиеся должны приобретать опыт рационального выполнения вычислений.
Основой тождественных преобразований является использование законов арифметических действий. Поэтому учитель при обучении законам арифметических действий должен добиваться от учащихся понимания их роли в упрощении вычислений. Учащимся рекомендуется задавать следующие вопросы: как проще вычислить, нет ли более рационального пути решения, нельзя ли выполнить вычисление по-другому, короче существует ли более лёгкий способ вычисления?
Русская пословица гласит, что повторение – мать учения. Устные занятия на уроках и внеклассная работа развивают активность учащихся, при небольшой затрате времени позволяют повторить обширный материал программы, углубить и закрепить его на подобных задачах и вопросах. Известно, что если длительное время не повторять изученный в прошлые годы учебный материал, то знания любого человека, включая и учителя, постепенно забываются. Поэтому крайне важны устные занятия на повторение и закрепление, они экономят время урока, дают возможность включить в активную работу всех учащихся, развивают их самостоятельность.
Устный счёт на уроках математики. Задачи в стихахкласс).
Устная работа на уроках математики имеет огромное значение. Как пишет опытный педагог в своей статье «Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и развития личности ребёнка»: « Важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходится. Значение их велико в формировании вычислительных навыков и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребёнка.» Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики необходимо уделять 5 – 10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой. Задачи в стихах активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают у них интерес к математике, а также память, внимание, способность воспринимать сказанное на слух и быстроту реакции.
Устный счет на уроках математики
Ни у кого не вызывает сомнения, что, развитие умения устных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач "в уме" - важнейший элемент математической подготовки учащихся. При устранении пробелов знаний у учащихся устный счет помогает закрепить скорректированные знания, умения и навыки.
Однако, как показывает опыт работы многих учителей, применение устных заданий на уроке - не такое уж и простое дело. Особенно трудно в начале. Учащиеся с трудом привыкают к устным упражнениям: проделывать несколько математических действий, несколько математических операций в уме им тяжело. Устный счет на уроке затягивается по времени, учителю кажется, что он не эффективен и он отступает: вообще его не применяет, а если и применяет, то редко, эпизодически. И все же, необходимо выдержать первые временные трудности и тогда применение на уроках устного счета даст ощутимые положительные результаты в обучении учащихся.
Нужно ли тратить время на то, чтобы научить ученика считать устно? Этот вопрос обсуждать нет смысла, потому что тот учитель, который это сделал, избежал многих проблем в обучении своих учеников. А вот если эта работа велась от случая к случаю, нужно ли тратить время на то, чтобы научить считать устно выпускника? Я считаю, что все затраты времени будут не напрасны:
Устный счет позволяет сосредоточить внимание, заставляет ученика слушать объяснения своих товарищей, чтобы понять как выполняются задания (сейчас меня спросят!);
При грамотном подходе учитель может создать ситуацию успеха для слабого ученика: дать возможность ответить сначала два-три подобных задания более сильных учеников, а потом только его спросить (а любой, даже маленький успех, окрыляет!);
Выполняя задания устного счета выпускники не только отрабатывают вычислительные навыки, но и запоминают алгоритмы выполнения простых заданий до автоматизма. Это позволит им выполнять более сложные задания, не затрачивая времени и умственной энергии на то, чтобы вспомнить простое.
Начинать применение устного счета на уроках математики нужно как можно раньше. Задания должны быть занимательными, простыми и понятными, наглядными.
Устный счет на уроке не должен занимать много времени, при любом способе его проведения нужно, чтобы ученик знал результаты своих ответов, а ошибки сразу корректировались.
Организовать устный счет можно по-разному:
Вопрос, устный или на экране – устный ответ;
Развернутый устный ответ с пояснениями решения;
Тестовые задания на экране –одновременный опрос всего класса с записью ответа каждого ученика в бланке ответов;
Комбинированный устный счет. Первая часть его – любой из вышеперечисленных способов, вторая часть проводится следующим образом: задания устного счета выдаются на экран в автоматическом режиме. Время на каждое задание можно настроить в зависимости от подготовки учащихся. Ответы записываются в специальные бланки. Затем в течение урока учитель проверяет их. Требуется 1-2 минуты для проверки. При подведении итога урока сообщает и анализирует результат.
Задания для устного счета можно предлагать учащимся для самоподготовки к зачетам, контрольным работам, к экзаменам. Систематическое применение устного счета на уроках со временем выработает у учащихся умение быстро считать в уме. Решая простые задания устно, ученик более глубоко понимает приемы решения тех или иных заданий, усваивает алгоритмы их выполнения. Более сложные задания уже не будут вызывать у него затруднений.
Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.
Имеются три вида технологии устного счёта , которые используют различные физические возможности человека:
Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два - четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:
Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта , лишённой главного недостатка - замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.
Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе . Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции .
Цифровые вертушки на телефонной матрице.
Цифровые вертушки в базовом варианте представляют собой две телефонных панели, допускающие повороты вокруг центральной оси. Цифровые вертушки являются механическими учебными пособиями, позволяющими в игровой форме изучать с детьми методы геометрического сложения и умножения однозначных десятичных чисел. Описаны в патенте РФ .
Конструкция цифровой вертушки . Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трех строк и трех столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение - это поворот пропеллера вокруг оси .
Сложение .
Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B= двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения .
Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы .
Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний .
Правило единиц . Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы.
Пример 2+1 . Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3.
Пример 7+7 . Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-й молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4.
Применяем правило десятков . Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1 .
Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB . Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B).
Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило , удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами . Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано.
Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов , последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут быть динамическими , как в кино, или же статическими , если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых.
Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом.
Компьютер «на пальцах» .
Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки . Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки ". Например, 3x2=6 .
Аналогично: правило единиц умножения на 7 - это правило левой руки .
Правило единиц умножения на 9 - это шпагат из пальцев .
Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы . При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы . Удачным тренажёром являются механические учебные пособия - цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу .
Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки - 9 .
Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс . Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.
До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте . Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова .
Среди известных российских «супер счётчиков»:
Среди зарубежных:
Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях , другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы .
Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.
Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме (англ. ) , на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».
Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга . История её создания необычна . В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь . Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт .
В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского », написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:
10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 365 {\displaystyle {\frac {10^{2}+11^{2}+12^{2}+13^{2}+14^{2}}{365}}}
Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя » Барри Левинсона и в фильме «Пи » Даррена Аронофски .
Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306) .
Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176, причем 150*8=(150*2)*4=300*4=1200.
Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350 . Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.
Несколько способов устного счета:
например, 43*11 = = = 473.
Возведение числа вида (оканчивающееся пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: x = [ (Nx(N+1)) ; 2; 5 ]. Доказательство (10N+5) x (10N+5) = (N*(N+1)) x 100 + 25. Например, 65² = 6*7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9*10 и приписать 25 справа).
