Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вверх на одну единицу (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вниз на одну единицу (рисунок 2).

Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x 1 = 2, x 2 = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M 1 N M 2), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О y формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О х.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

Рисунок 4. График функции y =

Искомый объём равен

Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O y .

Решение. Имеем:

Вопросы для повторения

Фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $$ функции $f(x)$ и прямыми $y=0, \ x=a$ и $x=b$, называется криволинейной трапецией.

Площадь соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

$S=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}.$ (*)

Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции мы будем условно делить на $4$ типа. Рассмотрим каждый тип подробнее.

I тип: криволинейная трапеция задана явно. Тогда сразу применяем формулу (*).

Например, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=4-(x-2)^{2}$, и прямыми $y=0, \ x=1$ и $x=3$.

Нарисуем эту криволинейную трапецию.

Применяя формулу (*), найдём площадь этой криволинейной трапеции.

$S=\int\limits_{1}^{3}{\left(4-(x-2)^{2}\right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{4dx}-\int\limits_{1}^{3}{(x-2)^{2}dx}=4x|_{1}^{3} – \left.\frac{(x-2)^{3}}{3}\right|_{1}^{3}=$

$=4(3-1)-\frac{1}{3}\left((3-2)^{3}-(1-2)^{3}\right)=4 \cdot 2 – \frac{1}{3}\left((1)^{3}-(-1)^{3}\right) = 8 – \frac{1}{3}(1+1) =$

$=8-\frac{2}{3}=7\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

II тип: криволинейная трапеция задана неявно. У этого случая обычно не задаются или задаются частично прямые $x=a, \ x=b$. В этом случае нужно найти точки пересечения функций $y=f(x)$ и $y=0$. Эти точки и будут точками $a$ и $b$.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=1-x^{2}$ и $y=0$.

Найдём точки пересечения. Для этого приравняем правые части функций.

Таким образом, $a=-1$, а $b=1$. Нарисуем эту криволинейную трапецию.

Найдём площадь этой криволинейной трапеции.

$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left(1-x^{2}\right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{1dx}-\int\limits_{-1}^{1}{x^{2}dx}=x|_{-1}^{1} – \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-1}^{1}=$

$=(1-(-1))-\frac{1}{3}\left(1^{3}-(-1)^{3}\right)=2 – \frac{1}{3}\left(1+1\right) = 2 – \frac{2}{3} = 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

III тип: площадь фигуры, ограниченной пересечением двух непрерывных неотрицательных функций. Эта фигура не будет криволинейной трапецией, а значит с помощью формулы (*) её площадь не вычислишь. Как же быть? Оказывается, площадь этой фигуры можно найти как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных верхней функцией и $y=0$ ($S_{uf}$), и нижней функцией и $y=0$ ($S_{lf}$), где в роли $x=a, \ x=b$ выступают координаты по $x$ точек пересечения данных функций, т.е.

$S=S_{uf}-S_{lf}$. (**)

Самое главное при вычислении таких площадей – не “промахнуться” с выбором верхней и нижней функции.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной функциями $y=x^{2}$ и $y=x+6$.

Найдём точки пересечения этих графиков:

По теореме Виета,

$x_{1}=-2, \ x_{2}=3.$

То есть, $a=-2, \ b=3$. Изобразим фигуру:

Таким образом, верхняя функция – $y=x+6$, а нижняя – $y=x^{2}$. Далее, найдём $S_{uf}$ и $S_{lf}$ по формуле (*).

$S_{uf}=\int\limits_{-2}^{3}{(x+6)dx}=\int\limits_{-2}^{3}{xdx}+\int\limits_{-2}^{3}{6dx}=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{-2}^{3} + 6x|_{-2}^{3}= 32,5$ (ед.$^{2}$).

$S_{lf}=\int\limits_{-2}^{3}{x^{2}dx}=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{-2}^{3} = \frac{35}{3}$ (ед.$^{2}$).

Подставим найденное в (**) и получим:

$S=32,5-\frac{35}{3}= \frac{125}{6}$ (ед.$^{2}$).

IV тип: площадь фигуры, ограниченной функцией (-ями), не удовлетворяющей(-ими) условию неотрицательности. Для того, чтобы найти площадь такой фигуры нужно симметрично относительно оси $Ox$ (иными словами, поставить “минусы” перед функциями) отобразить область и с помощью способов, изложенных в типах I – III, найти площадь отображённой области. Эта площадь и будет искомой площадью. Предварительно, возможно, вам придётся найти точки пересечения графиков функций.

Например, найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^{2}-1$ и $y=0$.

Найдём точки пересечения графиков функций:

т.е. $a=-1$, а $b=1$. Начертим область.

Симметрично отобразим область:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^{2}-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^{2}-1) = 1-x^{2}$.

Получится криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=1-x^{2}$ и $y=0$. Это задача на нахождение криволинейной трапеции второго типа. Мы её уже решали. Ответ был такой: $S= 1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$). Значит, площадь искомой криволинейной трапеции равна:

$S=1\frac{1}{3}$ (ед.$^{2}$).

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры . Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не .

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений .

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала и статьи о геометрических преобразованиях графиков .

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории .

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке Графики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен не выше оси , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Переходим еще к одному содержательному заданию.

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:


,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Решение : Изобразим данную фигуру на чертеже.

Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку, простите, не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =)

Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85). Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у - 1 -х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86). у Рис. 87. Рис. 86. 1 Здесь f(x)= 1 - л?, пределы интегрирования а = - и £=1, поэтому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем Л 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я 5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88). Предварительные рас-рис суждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я Г,*я S - \ sin х dx = [ - cos х]0 = = -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Этот результат требует разъяснений. Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2. я Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим 2л я 2л J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной. В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4. Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох, параболой у = - хг и прямой у - =-х+\. Площадь криволинейной трапеции Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений 3 2 У = тх. (нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х }