Функции (большинство из этих свойств фактически известно нам из § 5). Когда такое представление сложится, начнем строить график, как обычно, по точкам.

Свойство 1. Область определения функции у = tg х - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

Это свойство означает, что на графике функции нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой нет точки, принадлежащей прямой и т.д. Эти прямые проведены пунктиром на рис. 60.

Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного множества ветвей (в полосе между
Свойство 2. у = tg х- периодическая функция с основным периодом п.
Это следует из двойного равенства полученного в § 5.
Значит, если мы построим ветвь графика в полосе от то затем нужно будет сдвинуть построенную ветвь по оси х вправо и влево на п, 2п, Зп и т.д. Тек самым получено второе представление о графике.

Свойство 3. у =tg х-нечетная функция. Это следует из доказанного в § 5 соотношения График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть графика на промежутке от а затем воспользоваться указанной симметрией.

Приступим к построению графика на полуинтервале , Выберем контрольные точки:

Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую (рис. 61). Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат (рис. 62). Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис. 63).

График функции у = tg х называют тангенсоидой. Ту ее часть, которая изображена на рис. 62, обычно называют главной ветвью тангенсоиды.

Обратите внимание на то, что из начала координат главная ветвь тангенсоиды выходит как бы под углом 45°. Почему это так, вы узнаете из главы 4.

Свойство 4. Функция возрастает на интервале В более общем виде - функция возрастает на любом интервале вида
Свойство 5. Функция у = tg хне ограничена ни сверху, ни снизу.

Свойство 6. У функции у = tg х нет ни наибольшего, ни наимень шего значения.
Свойство 7. Функция у = tg х непрерывна на интервале В более общем виде - функция непрерывна на любом интервале вида
При значениях функция претерпевает разрыв. Каждая прямая вида служит вертикальной асимптотои графика функции.

Свойство 8.

Замечание. Свойства 4-8, прочитанные по графику, можно доказать, опираясь на соответствующие математические утверждения, которые нам с вами пока не известны (поэтому мы и ограничиваемся наглядно-интуитивными представлениями). Впрочем, доказательство одного из свойств мы можем осуществить и сейчас.
Докажем, что функция у=tg х возрастает на полуинтервале . Возьмем два значения аргумента х 1 и х 2 из этого промежутка: х 1 < х 2 . Тогда в силу возрастания функции х на выбранном полуинтервале, будем иметь sin х 1 < sin х 2 . В силу убывания функции у- соs х на выбранном полуинтервале будем иметь соs х 1 > соs х 2 . Значит,

Итак, а это и означает возрастание функции у=tg х на выбранном промежутке.
Пример 1. Решить уравнение tg х =
Решение. Построим в одной системе координат графики функций у =tg х - тангенсоиду и у = - прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 64), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на пк. На главной ветви абсцисса соответствующей точки равна (мы воспользовались известным числовым равенством - это один корень уравнения, а все решения описываются формулой
Ответ:

Пример 2. Построить график функции
Решение. Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды.
1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке проведена на рис. 65 пунктиром).
2) "Привяжем" функцию у = tg хк новой системе координат - это будет график функции , а точнее, главная ветвь искомого графика (рис. 65 - сплошная кривая).
3) Чтобы получить график функции достаточно построенную ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис. 66).
4) Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 67).

На самом деле, на рис. 67 построен график функции у=сtgх. Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения)
График функции у=сtg х, как и график функции у =tg х, называют тангенсоидой. Главной ветвью графика функции у=сtg х обычно называют ветвь, заключенную в полосе от х=0 до х = к.
Пример 3. Решить уравнение сtg х = -1.

Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = сtg х - тангенсоиду и у=-1 - прямую, параллельную оси х. Они имеют бесконечно много точек пересечения (рис. 68), причем абсциссы этих точек отличаются друг от друга на яп. На главной ветви абсцисса соответствующеи точки равна (мы воспользовались известным соотношением: а все решения заданного уравнения можно охватить формулой
Ответ:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Возрастание		-
Убывание	-
Экстремумы	-	-
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	-

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна.

Конспект урока по алгебре в 10-м классе по теме:

«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”.

Цели: 1. Изучить свойства функций y = tgx, y = ctgx; выработать у учащихся умения изображать схематически и читать графики этих функций. Сформировать прочные навыки в умении решать графически уравнения, выполнять преобразования графиков.

Оргмомент. Сообщение темы, целей и задач урока. Приглашение к сотрудничеству.

Актуализация знаний. Устная работа.

1.Вычислите:

2.Докажите, что число  является периодом для функции .

3.Докажите, что функция нечётная. Доказательство: .

4.Прочитайте по графику функцию.

D (f ) = [ -2; 5]. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция возрастает на промежутках [ -2; -1], , убывает на промежутке [ -1; 2]. Функция ограничена снизу и сверху. Функция непрерывна на всей области определения. E(f) = [ -4; 5].

Свойство 2. Функция периодическая с периодом , т.к.

Свойство 3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу основных значений:

x	0	/6	/4	/3
tgx	0		1

Построим график функции в первой четверти:

Используя свойства функции, строим полностью график функции y = tgx.

Свойство 4. Функция возрастает на всём интервале вида:

График функции y = tgx называют тангенсоидой , а ветвь на промежутке называют главной ветвью.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида

Рассмотрим пример: решите уравнение . Решим это уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и .

Пример 2. Построить график функции

Составим план построения: 1) Построим главную тангенсоиду.

2) Отобразим эту ветвь симметрично относительно оси х. 3) Сдвинем полученную ветвь на /2 влево. 4) зная одну ветвь, построим весь график.

Т.к. , то построен график функции

По графику полученной функции описать её свойства. Как быстро это сделать? (Большинство свойств у функций y = tgx и совпадают).

Свойство 1. D (f ) – все действительные числа, кроме чисел вида x = k .

Свойство 2. Функция периодическая с периодом .

Свойство 3. Функция нечётная.

Свойство 4. Функция убывает на всём интервале вида:

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида:

Свойство 8. E(f) = (-  ; +  ).

График функции так же называется тангенсоидой.

Закрепление изученного материала. № 254,255,257,258 – устно. № 261в, 262в – письменно.

Итог урока.

- С какими функциями мы сегодня с вами познакомились?

- Что можно сказать о них?

- Какими похожими свойствами они обладают? В чём различие?

- Как называются графики этих функций?

Домашнее задание. §15 № 256(а), 259(а), 261(а), 262(а).

Просмотр содержимого презентации
«Функции тангенса и котангенса, их свойства и графики.»

Функции y = tg x, y = ctg x,

их свойства и графики.

МАОУ лицей №10 города Советска

Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна

Работа устно:

Вычислите:

Докажите, что число  является периодом для функции y = sin2x.

sin2(x -  ) = sin2x = sin2(x +  )

Докажите, что функция является нечётной:

f(x) = x⁵ ∙ cos3x

Прочитайте по графику функцию:

Подсказка!

План прочтения графика:

1) D(f) – область определения функции .

2) Чётность или нечётность функции .

3) Промежутки возрастания, убывания

функции .

4) Ограниченность функции .

5) Наибольшие, наименьшие значения

функции .

6) Непрерывность функции.

7) E(f) – область значений функции.

Свойство 1.

Область определения функции y = tg x – множество

всех действительных чисел, за исключением чисел

вида x =  /2 +  k.

Свойство 2.

y = tg x – периодическая функция с

периодом  .

tg(x -  ) = tg x = tg(x +  )

Свойство 3.

y = tg x – нечётная функция.

tg(- x) = - tg x

(График функции симметричен относительно

начала координат).

х

tg x

y

1

0

x

Свойство 4.

y = tg x

Функция возрастает на любом интервале вида:

График функции y = tg x

называется тангенсоидой .

Свойство 5.

Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6.

У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни

наименьшего значений.

Свойство 7.

Функция y = tg x непрерывна на любом интервале

вида

Свойство 8.

Пример 1.

Решите уравнение tg x =  3

у =  3

Ответ:

Пример 2.

Построить график функции y = - tg (x +  /2).

y = ctg x

Т.к. - tg (x +  /2) = ctg x, то построен график функции

y = ctg x.

Опишите свойства функции y = ctgx.

• D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида x =  k.

2) Периодическая с периодом  .

3) Нечётная функция.

4) Функция убывает на любом интервале вида (  k;  +  k).

5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значений.

7) Функция непрерывна на любом интервале вида (  k;  +  k).

8) E(f) = (-  ; +  ).

1). Пример №3 по учебнику

разобрать самостоятельно.

2). № 254, 255, 257, 258 – устно.

3). № 261 (в), 262 (в) –письменно.

4). Домашнее задание:

№ 256 (а), 259 (а), 261(а), 262(а).

Свойства функции y=tg x. y x 1 -1 у=tg x Нули функции:tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у

0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 10 Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у title="Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у

У х y = tgx y = tgx + a y = tgx – b

У х y = tgx y = tg(x – a)

У х y = tgx y = ItgxI

Функция y = ctg x 1. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= πk, k Z. 2. Область значений функции – все действительные числа. 3. Функция убывает на интервалах 4. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. 5. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - 1 у х π0-π-π - у=ctg x

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: