Средний уровень
Сложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.
Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:
Пересекли ещё двумя:
И вот внутри - параллелограмм !
Какие же есть свойства у параллелограмма?
То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?
На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Давай нарисуем все подробно.
Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно
Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :
Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:
Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт.
А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?
На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.
Внимание! Начинаем.
Паралелограмм.
Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что
Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?
Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ?
А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.
Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.
Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
Свойства параллелограмма:
Свойства прямоугольника:
Свойства ромба:
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.
Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.
1. Длины сторон квадрата равны.
AB=BC=CD=DA
2. Все углы квадрата прямые.
\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}
3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
AB \parallel CD, BC \parallel AD
4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}
5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.
\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}
Доказательство
Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .
6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
AO = BO = CO = DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}
AC = BD
Доказательство
Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.
7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD
8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD
9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .
География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.
Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.
Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:
Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях.
Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.
Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Бобылёва Марина Витальевна
МОУ «СОШ №51» г. Саратов
Математика
2 класс
Прямоугольник. Квадрат.
Урок открытия нового материала.
Урок в ТРКМ
Тема: Прямоугольник. Квадрат.
Цели:
Обучающие : актуализировать и упорядочить знания детей о прямоугольнике и квадрате, уточнить понятия «прямоугольник» и «квадрат», выявить основные свойства прямоугольника, учить распознавать их на основе существенных свойств,
продолжить работу по формированию навыков изображения прямоугольников и вычисления периметра этих фигур.
Развивающие: развивать критическое мышление, умение ставить проблемные вопросы, выдвигать гипотезы, анализировать и сравнивать, обобщать полученные данные и делать выводы; развивать устную речь учащихся.
Воспитательные : создать условия для формирования познавательного интереса к математике.
Оборудование:
интерактивная доска, компьютер, проектор,
учебник «Математика» 2 класс Л.Г.Петерсон,
карточки для устного счёта (геометрические фигуры), на которых записано математическое выражение,
набор разрезных геометрических фигур,
альтернативный тест- таблица для приёма «Верные и неверные утверждения»
сигнальные карточки «настроение» в виде личика - смайлика
1. Орг. момент.
Учитель:
Я рада вновь видеть ваши лица, ваши глаза. И думаю, что сегодняшний урок принесёт нам всем радость общения друг с другом.
Каким бы вы хотели видеть наш сегодняшний урок? С каким настроением вы его начинаете? «Просигнальте» мне, пожалуйста. (Дети поднимают карточку - «настроение» в виде личика).
2. Фаза вызова. Актуализация знаний.
Учитель:
Сегодня мы вновь отправляемся в путешествие по увлекательной стране «Геометрии». А поможет нам наша знакомая. А кто, вы узнаете, выполнив задание. (слайд1)
а) Появляется задание (числа записаны внутри геометрических фигур)
10 …. 20 25 …. …. 40 …. 50 …. 60
Предложите задание, что здесь можно сделать?
(Дети предлагают определить закономерность и вставить пропущенные числа)
Какую закономерность вы наблюдаете в записи чисел? (счёт через 5)
Восстановите ряд.
Ученики называют пропущенные числа.
На доске появляется запись, числа внутри геометрических фигур) (сл 2)
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Если ответ правильный под числами появляются буквы (сл.3)
15 30 35 45 55
т о ч к а
В какой стране живёт точка?
Дети:
Это математика (геометрия)
Учитель
Как вы думаете, какую тему урока предлагает нам точка?
Дети
Я думаю, что мы будем говорить о геометрических фигурах. (т.к. все числа записаны в геометрических фигурах)
б) Работа в паре. Игра «Собери картинку» (по рядам)
(На каждой парте лежит геометрическая фигура, на которой записано математическое предложение. Одно задание на двоих)
Что будем делать? Кто догадался?
Дети:
Составлять выражение, записывать его и вычислять значение.
1 ряд 2 ряд 3 ряд
50-7+22= 54+13-9= 60-6+13=
70-8+36= 80-24+6= 38+12-9=
76-23+42= 17+33-25= 84-34-18=
95-32-5= 98-18-15= 6+64-8=
53+7-28= 13+6+31= 33-23+78=
Ответы:
65, 98, 95,58,32 58, 62, 25, 65, 50 67, 41, 32, 62, 88
На доске изображены 3 квадрата, разделённых на фигуру, внутри которых написаны числа - ответы, которые получились у детей)
Учитель
Соберите картинку.
Дети выходят к доске и прикрепляют фигуру с ответом на своё место.
Назовите фигуры, с помощью которых получилась картинка.
Дети.(называют все фигуры)
Это треугольники и четырёхугольники.
Учитель.
Молодцы.
На партах лежит набор фигур. Он соответствует тому набору, что выделен детьми на доске.
Предложите своё задание.
Дети.
Разделить на треугольники и четырёхугольники. (выполняют на партах в парах)
Учитель.
Предложите задание для четырёхугольников.
Дети.
Я думаю, что их можно разделить на группы.
Я предлагаю разделить на прямоугольники и непрямоугольники.
(2 ребёнка работают у доски)
Самопроверка.
Учитель.
Проверьте себя.
Что заметили?
Дети.
Я заметила, что в одной группе оказались прямоугольники и квадраты.
Учитель.
Почему?
Дети.
Потому что у всех фигур прямые углы.
Учитель.
Сформулируйте тему урока.
Дети.
Мы будем говорить о прямоугольниках и квадратах.
3. Стадия осмысления. Открытие новых знаний.
а) Приём «Верные и неверные высказывания»
Учитель.
У вас на партах лежат листочки, на которых начерчена таблица, как у меня на доске.
Цифрами я указала № вопросов. Я вам читаю вопросы, которые начинаются со слов «Верите ли Вы, что…»
Вы обсуждаете в паре. Если верите, то во второй строке поставьте знак «+», если нет, то «-».
Дети заполняют таблицу.
Учитель.
На все ли вопросы мы ответили верно, мы узнаем после того, как внимательно изучим новую тему урока.
б) Офтальмологическая физминутка для глаз.
в) Выведение определений прямоугольника и квадрата.
Учитель.
Дайте общее название этим фигурам. (фигуры на доске)
Д ети.
Я думаю, что это прямоугольники, т.к. у них все углы прямые.
Учитель.
Что такое прямоугольник?
Дети.
Прямоугольник - это фигура, у которой все углы прямые.
Учитель.
Откройте учебник стр.50 и убедитесь, в точности ваших суждений.
Дети (читают)
Четырёхугольник, у которого все углы прямые называется прямоугольником.
Учитель.
Наша гостья - точка решила проверить вашу наблюдательность.
Проанализируйте вновь прямоугольники.
Какую особенность вы заметили?
Дети.
У некоторых прямоугольников все стороны равны.(можно измерить с помощью линейки)
Учитель.
Кто знает, как называются такие фигуры?
Дети.
Квадрат.
Учитель.
Что такое квадрат, вы узнаете самостоятельно, если прочтёте учебник стр.50.
Учитель.
Что нового вы узнали о квадрате?
Дети.
Я узнал, что квадрат - это особенный прямоугольник.
А я, что у квадрата все стороны равны.
Во время вывода детьми правила, на доске появляются постепенно понятия (сл 4)- выстраивается схема
Четырёхугольник
г) Выведение существенных признаков прямоугольника и квадрата.
Учитель.
Что общего у этих фигур?
Дети.
Это прямоугольники. (появляется сл.5)
Четырёхугольник
Прямоугольник
Учитель.
В чём различие у этих фигур?
Дети.
Я думаю, что у квадрата все стороны равны.
А у прямоугольника разные.
Учитель.
Нам поможет разобраться учебник стр.№50 (читают)
Что нового вы узнали?
Дети.
Я узнал, что у прямоугольника противоположные стороны равны. Большую сторону называют длиной прямоугольника.
А я узнала, что меньшую сторону называют - шириной.
На доске выстраивается схема (сл 6)
четырёхугольник
Прямоугольники
Квадрат
Длина
Ширина стороны равны
д) Самостоятельна я работа с самопроверкой.
Учитель.
Предлагаю выполнить задание №5 и проверить свои знания.
Задание №5(а)
Начертите прямоугольник, длина которого 6 см, а ширина на 2 см. меньше.
Найдите его периметр.
Выполняют самостоятельно, один ученик на доске.
Проверка.
Решение.
1). 6-2=4(см)-ширина прямоугольника
2). 6+6+4+4=20(см)- периметр.
Учитель.
Попробуйте начертить прямоугольник, изменив длину и ширину, с тем же периметром.
(варианты решений 7см и 3см, 8см и 2см, 9см и 1см, квадрат 5см)
Взаимопроверка.
(дети называют свои варианты)
Учитель.
Какими знаниями вы пользовались?
Дети.
Я вспомнила, как найти периметр.
А я вспомнил, что у квадрата все стороны равны.
е) Физ. минутка.
ж) Повторение изученного. Возврат к вопросам.
Учитель.
А теперь давайте вернёмся к нашим вопросам, снова ответим на них и проверим, не ошиблись ли вы в своих предположениях.
Я снова читаю вопросы. В 3-й строке вы ставите нужный знак.
(выполняют)
1. Верите ли вы, что в прямоугольнике все углы прямые.
2. Верите ли вы, что любой прямоугольник является квадратом.
3. Верите ли вы, что в прямоугольнике противоположные стороны равны.
4. Верите ли вы, что квадрат является прямоугольником.
5. Верите ли вы, что в квадрате все углы прямые.
6. Верите ли вы, что у квадрата все стороны равны.
Учитель.
По каким вопросам ваше мнение совпало?
Объясните почему?
По каким вопросам изменилось?
Почему?
4. Рефлексия.
Какая тема была сегодняшнего урока?
Что нового вы узнали? (дети называют то, что новым явилось для них)
Что вам понравилось?
С какими трудностями вы столкнулись?
А как вы думаете, мы уже всё узнали про прямоугольники?
Конечно же, нет. В дальнейшем на уроках математики и геометрии мы узнаем много нового об этих интересных фигурах. Но это будет позже.
А пока наш урок заканчивается, нашей гостье - точке и мне очень понравилось, как вы сегодня работали на уроке.
Выставление оценок.
Учитель.
С каким настроением вы заканчиваете урок? «Просигнальте» мне, пожалуйста. (Дети поднимают карточку - «настроение» в виде личика).
Огромное спасибо вам за сотрудничество.
5. Домашнее задание (инвариант)
№5(б) стр.51
№3 стр.51
правила стр.50
